PERSAMAAN BOLA

Persamaan Bola

A.    Definisi Bola

Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

B.    Persamaan Bola

Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;

      

       x² + y² + z² = r² ....(I)

Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:

MP = OP – OM

= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......

                          (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)

Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:

  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

  ( X² - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²

    X² - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²

   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0

       x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)

Dari persamaan (III) diatas, apabila:

• -2a = A
• -2b = B
• -2c = C dan 
•  a² + b² + c² – R² = D

 Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)

Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:

•  -2a = A, maka a = -½ A
• -2b = B, maka b = -½B
•   -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...

M(-½A, -½B, -½C) ….(V)

Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

         R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)

Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola

Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal  

C. Contoh soal dan pembahasannya

   1. Persamaan bola yang berpusat di (0,0,3) dan berjari-jari 5 adalah…..

Pembahasan :

(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²

(x-0)² + (y-0)² + (z-3)² = 5²

x² + y² + z² - 6z +9 = 25

x² + y² + z² - 6z = 25 - 9

x² + y² + z² - 6z = 16

     2. itik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan 3x² + 3y² + 3z²- 6x + 12y – 18z -6 = 0

Pembahasan :

3x² + 3y² + 3z²- 6x + 12y – 18z - 6 = 0

x² + y² + z² - 2x + 4y – 6z - 2 = 0