DUA LINGKARAN YANG BERPOTONGAN

Sudut antara dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Dua lingkaran dikatakan saling memotong tegak lurus jika sudut antara garis-garis singgung di titik potongnya adalah 90o. Perhatikan gambar berikut.

Misal diketahui dua lingkaran sebagai berikut ini.
L₁ : x² + y² + A₁x + B₁y + C₁ = 0

L₂ : x² + y² + A₂x + B₂y + C₂ = 0

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran.

Perhatikan bahwa r₁ tegak lurus r₂, sehingga ΔM₁M₂P adalah segitiga siku – siku.
Diketahui :

 

Sehingga berlaku : (M₁M₂)² = r₁² + r₂²

atau (B₁ – B₂)² + (A₁ – A₂)² = A₁² + B₁² – C₁ + A₂² + B₂² – C₂

_atau 2A₁A₂ + 2B_1­B₂ = C₁ + C₂

Inilah syarat dua lingkaran saling tegak lurus. 

Sebuah lingkaran dapat juga memotong lingkaran lain sedemikian sehingga membagi dua sama besar lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Jika lingkaran L₂ membagi dua sama besar lingkaran L₁, maka dalam ΔM₁PM₂ berlaku : 

(M₁M₂)² = r₁² – r₂²

Jadi, supaya suatu lingkaran membagi dua sama besar lingkaran lain, haruslah kuadrat jarak titik-titik pusatnya sama dengan selisih kuadrat jari-jarinya.

PERSAMAAN BIDANG PADA R3

1. Persamaan Bidang Sejajar Sumbu Z

Jika diketahui titik A (a, b, 0) dan vektor

adalah vektor posisi titik A, maka persamaan bidang P yang melalui titik A dan sejajar sumbu z adalah

Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A (5, 3, 0) dan sejajar sumbu z.

penyelesaian : A(5, 3, 0) pada bidang xy, maka vektor posisi titik A (5, 3, 0) adalah 

persamaan bidang yang didapat adalah :

2. Persamaan Bidang Sejajar Sumbu X

Jika diketahui titik A (0, b, c) dan vektor

adalah vektor posisi titik A, maka persamaan bidang Q yang melalui titik A dan sejajar sumbu x adalah 

3. Persamaan Bidang Sejajar Sumbu Y

Jika diketahui titik A (a, 0, c) dan vektor

adalah vektor posisi titik A, maka persamaan bidang B yang melalui titik A dan sejajar sumbu y adalah

4. Persamaan Bidang melalui 3 Titik

persamaan bidang yang melalui titik A, B, dan C adalah :

Contoh : Persamaan bidang yang melalui P(0, 0, 0), Q(1, 3, 2), R(3, 1, -2) adalah ...

penyelesaian :

jadi, persamaan bidang yang melalui titik P, Q, dan R adalah x - y + z = 0

SEJARAH GEOMETRI

1. Pengertian Geometri  

Geometri (Greek; geo= bumi, metria= ukuran) adalah sebagian dari matematika yang mengambil persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya.

Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban  Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia.
Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.

2. Sejarah Singkat Geometri

Paling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai ’sumber’ penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000 SM - 500 SM), Yunani (600 SM – 400 SM), Mesir (5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab (600 - 1500 AD), India (1500 BC - 200 BC), dan Cina (100 SM - 1400). Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain, Namun, kurang signifikan atau belum terekam dalam tradisi tulisan.

Bangsa Babilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai Eufrat dan sungai Tigris di wilayah Timur Tengah. Pada mulanya, daerah ini ditempati oleh bangsa Sumeria. Pada saat itu, 3500 SM, atau sekitar 5000 tahun yang lalu telah hidup sangat maju. Banyak gedung dibangun  seperti kota waktu kini. Sistem irigasi dan sawah pertanian juga telah berkembang. Geometri dipikirkan oleh para insinyur untuk keperluan pembangunan.

Geometri yang lahir dan berkembang di Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar.  Juga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan pajak. Teknik-teknik geometri yang berkembang saat itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif. Akan tetapi, cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kiurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Peninggalan berupa tulisan ini merupakan bagian dari barang-barang yang tersimpan oleh museum-museum di London dan New York. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegi panjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas daerah lingkaran. Orang-orang Mesir rupanya telah mengembangkan rumus-sumus ini dalam kehidupan mereka untuk menghitung luas tanah garapannya.

Selain melanjutkan mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan ’sexagesimal’ berbasis 60. Kita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini  ketika berbicara tentang waktu.

Mereka membagi hari ke dalam 24 jam. Satu jam dibagi menjadi 60 menit. Satu menit dibagi menjadi 60 detik. Kita mengatakan, misalnya, saat ini adalah pukul 9, 25 menit, 30 detik. Kalau dituliskan akan berbentuk pukul 9 25' 30", dan dalam sexagesimal dapat dituliskan sebagai 9 5 ²⁵/₆₀ ³⁰/_3600.  Sistem ini telah menggunakan nilai tempat seperti yang kita gunakan dewasa ini  (dalam basis 10 bukan dalam basis 60).

Bangsa Babilonia mengembangkan cara mengitung luas dan volume. Di antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali panjang garis tengahnya. Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π . Rumus Pythagoras juga sudah dikenal pada masa itu.

Bangsa Mesir mendiami wilayah yang sangat subur di sepanjang sungai Nil. Pertanian berkembang pesat. Pemerintah memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil. Maka, geometri maju di sini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan walayah di sepanjang sungai Nil itu.

Di Yunani, geometri mengalami masa ’emas’nya. Sekitar 2000 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori aksiomatis. Teori berpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma. Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan. Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides. Geometri yang kita ajarkan secara formal di sekolah merupakan ’kopi-an’ dari geometri Euclides ini.

Di awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin. Kita kenal belajaralah hingga ke negeri Cina. Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia. Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar. Kita mengenalnya menjadi geometri analitik. Mereka juga mengembangkan polinomial.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang  pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah  bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya, membuat pangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata. Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.   Saat itulah muncul ahli geometri di India.  Tentu, bangunan itu  juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India. Di sinilah berkembang teori-teori geometri.

Seperti cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuwan Cina sejak 2000 tahun sebelum Masehi (atau sekitar 4000 tahun yang lalu). Kalau di Eropa terdapat buku ‘Unsur-unsur’, geometri Euclides yang mampu menembus waktu 2000 tahun tanpa tertandingi, di timur, Cina terdapat buku ‘Sembilan bab tentang matematika’ yang dibuat sekitar tahun 179 oleh Liu Hui. Buku ini memuat banyak masalah geometri. Di antaranya menghitung luas dan volume. Dalam buku itu juga mengupas hukum Pythagoras. Juga banyak dibicarakan tentang polygon.

Pada Zaman Pertengan, Ahli matematik Muslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar dan  aljabar geometri. Al- Mahani (1.853) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit ibn Qurra (dikenal sebagi Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang  pengembangan geomeri analitik. Omar Khayyam (1048 -1131) menemukan penyelasaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri bukan Euclid.

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Yang pertama, dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan secara sistematik dari geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, Cuma dengan menyelidik bagaimana hubungan antara satu sama lain.

Dua perkembangan dalam geometri pada abad ke-19,mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari ahli geometri pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja secara analisis matematika, dan Henri Poincaré, sebagai pengagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.

Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, dan latar belakang semula hanya teori yang berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal pasti seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama.

PERKENALAN

Bismillah...
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Halo, semuanya. Apa kabar? :)

Ini adalah postingan pertama saya, namun saya kali ini hanya ingin memperkenalkan diri dulu ya..

Perkenalkan, nama sayaAditya Rahmawati. Asal dari Tanjung Enim Sumatera Selatan, mahasiswi Universitas Bengkulu semester 4, Jurusan Pendidikan MIPA, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan prodi Pendidikan Matematika.

Mungkin sekian dulu ya.
Postingan selanjutnya akan mulai membahas Geometri Analitik. :)

Terima kasih.

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.